9. Διαφορικές εξισώσεις

9.1. Διατύπωση του προβλήματος

Διαφορική εξίσωση ονομάζεται μία εξίσωση, ο οποία συσχετίζει μία ανεξάρτητη μεταβλητή \(x\), μία εξαρτημένη μεταβλητή \(y\) και τις παραγώγους της (\(y',y'',\dots\)). Η ολοκλήρωση των διαφορικών και η εξαγωγή αναλυτικών λύσεων είναι συχνά αδύνατη και γιαυτό έχουν αναπτυχθεί αριθμητικές μέθοδοι οι οποίες δεν αποκαλύπτουν την συνεχή λύση της \(y\), αλλά αποκαλύπτουν την τιμή των εξαρτημένων μεταβλητών σε συγκεκριμένα σημεία. Για την επιλογή της κατάλληλης αριθμητικής μεθόδου είναι απαραίτητη η κατηγοριοποίηση της διαφορικής εξίσωσης.

9.2. Ανεξάρτητες μεταβλητές

Όταν έχουμε μόνο μία ανεξάρτητη μεταβλητή, η διαφορική μας εξίσωση χαρακτηρίζεται συνήθης. Σε πρακτικά προβλήματα συχνά έχουμε περισσότερες από μία ανεξάρτητες μεταβλητές, οπότε η διαφορική εξίσωση ονομάζεται μερική. Για παράδειγμα για την μελέτη φαινομένων στην ατμόσφαιρα χρειάζονται 3 χωρικές ανεξάρτητες μεταβλητές (γεωγραφικό πλάτος, γεωγραφικό μήκος, ύψος) και μία χρονική (χρόνος). Με τον χαρακτηρισμό μονοδιάστατο, δισδιάστατο και τρισδιάστατο συχνότερα αποδίδουμε το πλήθος των χωρικών διαστάσεων.
Όταν αναφερόμαστε σε πρόβλημα μόνιμης κατάστασης, ο χρόνος δεν περιλαμβάνεται στις ανεξάρτητες μεταβλητές. Αντίθετα όταν το πρόβλημά μας είναι μεταβατικό ή μη μόνιμης κατάστασης, χρειαζόμαστε και τον χρόνο.

9.3. Εξαρτημένες μεταβλητές

Όταν έχουμε περισσότερες από μία εξαρτημένες μεταβλητές, χρειαζόμαστε και αντίστοιχο πλήθος διαφορικών εξισώσεων. Σε αυτή την περίπτωση προκύπτει ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων. Για παράδειγμα στην ατμόσφαιρα μας ενδιαφέρουν (μεταξύ άλλων) η θερμοκρασία, η υγρασία και η ταχύτητα του ανέμου. Μάλιστα το τελευταίο μέγεθος είναι διανυσματικό.

9.4. Γραμμικότητα

Μία γραμμική διαφορική εξίσωση μπορεί να εκφραστεί ως:

\[ a_0(x) +a_1(x)y'+a_2(x) y'' + \dots + a_n(x) y^{(n)}=b(x)\]

όπου \(a_0(x),\dots,a_n(x)\) και \(b(x)\) αυθαίρετες παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Στην πιο απλή περίπτωση οι συναρτήσεις αυτές εκφράζουν σταθερούς όρους.

Αντίθετα αν οποιαδήποτε συνάρτηση \(a\) εξαρτάται από την εξαρτημένη μεταβλητή \(y\) ή κάποια παράγωγό της, η εξίσωση καθίσταται μη γραμμική.

9.5. Παραβολική, Ελλειπτική, Υπερβολική

Η μερική διαφορική εξίσωση δευτέρου βαθμού με δύο ανεξάρτητες μεταβλητές \(x_1,x_2\) και μία εξαρτημένη \(u\) μπορεί να εκφραστεί στην μορφή:

\[ a \frac{\partial^2u}{\partial x_1^2}+ b \frac{\partial^2u}{\partial x_1\partial x_2} + c \frac{\partial^2u}{\partial x_2^2} + d \frac{\partial u}{\partial x_1} + e \frac{\partial u}{\partial x_2} + f u = g \]

Αναλόγως την διακρύνουσα \(b^2-4ac\), η εξίσωση μπορεί να χαρακτηριστεί ως:

• \(b^2-4ac<0\), Ελλειπτική

  Σε αυτές τις εξισώσεις πρέπει να γνωρίζουμε τις συνθήκες σε όλα τα όρια. Οποιαδήποτε αλλαγή σε ένα οριακό σημείο, επηρεάζει όλη την περιοχή ισχύος της διαφορικής εξίσωσης. Η πληροφορία ταξιδεύει και τις προς τις δύο κατευθύνσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής με άπειρη ταχύτητα. Τα προβλήματα αυτά αναφέρονται παρακάτω ως προβλήματα οριακών τιμών.

• \(b^2-4ac=0\), Παραβολική

  Σε αυτές τις εξισώσεις αρκεί να γνωρίζουμε την αρχική κατάσταση για να υπολογίσουμε την εξέλιξη της εξαρτημένης μεταβλητής. Αλλαγή της αρχικής κατάστασης ταξιδεύει με άπειρη ταχύτητα προς την μία κατεύθυνση της ανεξάρτητης μεταβλητής. Τα προβλήματα αυτά αναφέρονται παρακάτω ως προβλήματα αρχικής τιμής. Οι διαφορικές εξισώσεις πρώτου βαθμού εντάσσονται σε αυτή την κατηγορία.

• \(b^2-4ac>0\), Υπερβολική

  Οι λύσεις αυτών των εξισώσεων χαρακτηρίζονται από ασυνέχειες, οι οποίες μεταδίδονται ως κύματα. Η πληροφορία μεταδίδεται με την πεπερασμένη ταχύτητα των κυμάτων.

Σημειώνεται ότι μία μερική διαφορική εξίσωση μπορεί να παρουσιάζει διαφορετική συμπεριφορά ως προς κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή. Για παράδειγμα η διαφορική εξίσωση της μεταβατικής μονοδιάστατης αγωγής θερμότητας παρουσιάζει παραβολική συμπεριφορά ως προς τον χρόνο και ελλειπτική ως προς την απόσταση.